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Golden Ratio - 黄金分割比值的求证
发表于 ： 2016年11月17日 18:05
由 vicyang
黄金比值φ = [1+sqrt(5)]/2
可能在很多人看来都是一眼明了的东西，无奈本人的数学知识早已丢了大半，只得重新追溯。
首先有线段如下
代码： 全选
a b
|--------------------|------------|
令 a/b = (a+b)/a
- .
由 a/b = (a+b)/a ，转换得到
a? = ab + b?
假设 a/b = k, 用bk取代a，得
b?k? = b?k + b?
两边消除 b?，得
k? - k = 1
强行在两边插入同一个值，使得左边式子变为完全平方公式（为机智的降维打击做铺垫啊 #1）
k? - k + (1/2)? = 1 + (1/2)?
(k - 1/2)? = 5/4
对公式两边同时开根，最后得：
k = [1+sqrt(5)]/2
#1 我就是卡在了 k? - k = 1（智商欠费），然后去看了
wikipedia - Golden ratio
注意这句话：Using the
quadratic formula
以上过程重新简化了步骤。
Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证
发表于 ： 2016年11月26日 09:48
由 happy886rr
我也忘了怎么解二次方程了，这只是平面中的黄金分割，那有没有三维中的黄金分割公式？
Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证
发表于 ： 2016年11月26日 10:02
由 vicyang
happy886rr 写了：我也忘了怎么解二次方程了，这只是平面中的黄金分割，那有没有三维中的黄金分割公式？
是假设一个大立方体A和一个小立方体B，使其体积 a? : b? = b? : (a? - b?) 吗
（这么想似乎也不太对，这样的话还有面积， a? : b? = b? : (a? - b?)
Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证
发表于 ： 2016年11月26日 10:09
由 happy886rr
问题是这个三次方程有解吗？
Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证
发表于 ： 2016年11月26日 10:11
由 happy886rr
再说人直觉可以感受到长度的比例，但直觉不能很好的感受到体积的比，觉得这种高维黄金分割点只能在科技中使用了，平面美学不实用。
Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证
发表于 ： 2016年11月26日 10:21
由 vicyang
happy886rr 写了：再说人直觉可以感受到长度的比例，但直觉不能很好的感受到体积的比，觉得这种高维黄金分割点只能在科技中使用了，平面美学不实用。
感觉可能涉及到拓扑学。虽然方程解法还没去细想，不过用代码肯定可以跑一个近似值出来，哈哈
=== 胡乱地试算 ===
- 平面
平面上的有 A、B 两个正方形，一大一小，边长分别为 a, b
令其面积比为黄金比例：
a? / b? = b? / (a? - b?)
先不去演化公式，假设
a? = F，b? = G，则 F/G = G/(F-G)
最后又会推导出 F/G = (sqrt(5)+1)/2，也就是
a? / b? = (sqrt(5)+1)/2
两边同时开根，
a/b = sqrt[ (sqrt(5)+1)/2 ]
≈ 0.786151377757423
- 立体
立方体情况类似，a? / b? = (sqrt(5)+1)/2 ，两边同时立方根，
a/b = [(sqrt(5)+1)/2] ^(1/3)
≈ 0.851799642079243
但是这样想对不对？求出来的 k 有没有实际应用？ 不知道，有空会在玩图形的时候试一试。
Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证
发表于 ： 2016年11月26日 12:10
由 happy886rr
厉害这个三维的黄金分割都被你算出来了。